PELUANG

A. Permutasi dan Kombinasi

1. Faktorial

Faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n.

n! = n (n-1) (n-2)…. 3.2.1

0! = 1 dan 1! = 1

Contoh:

5! = 5.4.3.2.1 = 120

2. Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari susunan.

Contoh:

1. Himpunan a, b dan c {a,b,c}, tentukan susunan yang dapat diperoleh yang di ambil 3 anggota dan 2 anggota !

Jawab :

Diambil 3 anggota diperoleh susunan abc; acb; bac; bca; cab; cba.

Diambil 2 anggota diperoleh susunan ab; ba; bc; cb; ac; cd.

2. Seorang siswa mempunyai 5 kemeja dan 4 celana yang berbeda. Ada berapa macam cara berbakaian siswa tersebut ?

Jawaban :

5 x 4 = 20 cara

3. Permutasi Siklis

Permutasi siklis ialah merupakan suatu yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. sangat umum Soalnya biasanya tentang sususan orang di meja makan, meja rapat dsb.

Rumus nya sederhana : (n-1)! , dimana n ialah jumlah object/orang yang ada

contoh : 5 orang direktur duduk disebuah meja berbentuk lingkaran untuk rapat. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para direktur tersebut?

Jawab : 

4. Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan.
Karena tidak memperhatikan urutan maka disinilah letak perbedaan antara kombinasi dan permutasi.
Pada kombinasi, susunan $XY$ sama saja dengan susunan $YX$, sedangkan pada permutasi susunan $XY$ dan $YX$ dianggap susunan yang berbeda.
Lambang notasi dari kombinasi adalah $C$. Jika disebutkan $n$ kombinasi $r$, maka dapat ditulis menjadi $^nC_k$. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut.$^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Contoh :

1. Diatas meja terdapat tiga buah amplop yaitu : amplop A, amplop B dan amplop C. Si Ibu menyuruh anaknya mengambil dua amplop dari tiga amplop yang tersedia diatas meja. Berapa banyaknya cara atau kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Jawaban :

2. Sebuah kotak berisi 3 bola putih, 4 bola merah, dan 5 bola biru. Tiga bola diambil secara acak dari dalam kotak tersebut. Hitunglah peluang bahwa

1. Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih,
2. Masing-masing warna terwakili (1 bola putih, 1 bola merah, dan 1 bola biru),
3. Jika bola diambil satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang dimana bola terambil pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan ketiga adalah biru!

Jawab:

Diketahui $n=12,$ $n_1=3,$ $n_2=4$ dan $n_3=5.$ Misalkan jumlah bola putih terpilih dinotasikan dengan $x,$ jumlah bola merah terpilih dinotasikan dengan $y$ dan jumlah bola biru terpilih dinotasikan dengan $z.$

Jawaban 2.1
Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih artinya bola putih bisa terpilih 1 atau tidak terpilih sama sekali (0). Dengan demikian peluangnya adalah

P(x≤1)​=P(x=0)+P(x=1)=(nC3​)(n1​C0​)(n2​+n3​C3​)​+(nC3​)(n1​C1​)(n2​+n3​C2​)​=(12C3​)(3C0​)(9C3​)​+(12C3​)(3C1​)(9C2​)​=22084​+220108​=0,8727​P(x≤1)​=P(x=0)+P(x=1)=(nC3​)(n1​C0​)(n2​+n3​C3​)​+(nC3​)(n1​C1​)(n2​+n3​C2​)​=(12C3​)(3C0​)(9C3​)​+(12C3​)(3C1​)(9C2​)​=22084​+220108​=0,8727​Jawaban 2.2
Jika masing-masing warna terwakili, maka peluangnya adalah

P(x=1,y=1,z=1)​=nC3​n1​C1​n2​C1​n3​C1​​=12C3​3C1​4C1​5C1​​=2203×4×5​=0,2727​

Jawaban 2.3
Jumlah bola sebelum pengambilan adalah 12. Pada pengambilan pertama, peluang terambilnya bola putih adalah$P(x) = \frac{n_1}{n} = \frac {3}{12}$Bola yang tersisa dari hasil pengambilan pertama adalah 11, yaitu 2 bola putih, 4 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola merah pada pengambilan kedua adalah$P(y|x) = \frac{n_2}{n-1} = \frac {4}{11}$Selanjutnya bola yang tersisa adalah 10, yaitu 2 bola putih, 3 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola biru pada pengambilan ketiga adalah$P(z|y|x) = \frac{n_3}{n-2} = \frac {5}{10}$Dengan demikian peluang terambil bola pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan yang ketiga adalah biru adalah$$\begin{aligned} P(x=1,y=1,z=1) &= P(x) + P(y|x) + P(z|y|x) \\ &= \frac {4}{12} + \frac{3}{11}+\frac{5}{10} \\ &= 0,0455 \end{aligned}

B. Peluang (Probalibitas)

Peluang merupakan suatu kemungkinan terjadinya kejadian alam terjadi di masa mendatang.

Manfaat :

Membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.

Ada tiga hal penting dalam probabilitas :

1. Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktovitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

2. Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.

3. Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuhan percobaan atau kegiatan.

C. Pendekatan Peluang (probabilitas) :

1. Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar. Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil.

atau,

Ket. P(A) : Peluang

n(A) : Peluang kejadian A

n(N) : Peluang seluruh kejadian

Contoh:

Pelamaran pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 wanita (B). Jika yang terima hanya 1, berpa peluang bahwa ia merupakan wanita ?

Jawaban:

2. Pendekatan Subjektif

Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan daralm derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleg dan berdasarkan keyakinan.

Contoh:

Peluang untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:

Jawaban :

3. Pendekatan Relatif

Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. Probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Contoh :

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarnya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 karyawan yang ikut serta ?

Jawaban :

D. Peluang Bersyarat

Untuk memahami peluang kejadian bersyarat, perhatikan contoh berikut Dua buah dadu dilempar undi bersama, tentukan peluang muncul jumlah mata dadu lebih besar dari 9 dengan syarat dadu pertama muncul 5

Penyelesaian :

Tanpa rumus

Cara ini memandang syaratnya sebagai ruang sampel dan kejadiannya adalah bagian dari ruang sampel tersebut

Kejadian Jumlah mata dadu lebih dari 9 dengan syarat dadu pertama muncul 5

Ruang sampelnya adalah muncul mata dadu pertama 5

S={(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}, n(S) = 6

Kejadian A adalah kejadian mata dadu berjumlah lebih dari 9 dalam ruang sampel tersebut

A={(5,5),(5,6) , n(A) = 2

Peluang kejadian muncul mata dadu lebih dari 9 dengan syarat dadu ke I muncul angka 5,

dengan rumus

Ruang sampel, n(S) = 36

Selanjutnya kalian boleh menggunakan cara pertama atau cara kedua dengan rumus, tapi umumnya jika permasalahannya komplek maka kita harus menggunakan rumus

Perhatikan contoh berikut

Untuk lebih jelas lagi perhatikan contoh berikut

Sebuah perusahaan akan memilih karyawannya untuk pelatihan. Ada 5 calon Pria 3 dari bagian personalia dan 2 dari EDP. Ada 3 calon wanita 1 dari personalia dan 2 dari EDP. Tentukan peluang yang terpilih adalah Pria dengan syarat dari EDP Peluang ini adalah peluang bersyarat, jika peluang Pria dari EDP adalah P(AB) dan peluang Pria adalah P(B) maka peluangnya adalah

Untuk masalah yang lebih komplek , cermati contoh berikut!

Peluang kakak nonton film kartun sendiri = 0 , 65, peluang adik nonton film kartun sendiri = 0 , 80.

Peluang kakak atau adik nonton film kartun = 0 , 90. Tentukan peluang kakak nonton film kartun jika adik telah nonton terlebih dahulu.

Kejadian Kakak nonton kartun sendiri, P(A) = 0,65

Kejadian Adik nonton kartun sendiri, P(B) = 0,80

Kejadian Kakak atau Adik nonton kartun, P(AUB) = 0,90

Peluang kakak nonton film kartun jika adik telah nonton terlebih dahulu adalah peluang A dengan syarat B

E. Teorema Bayes

Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Teorema Bayes ini kemudian disepurnakan oleh Laplace. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi.Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.

Misalkan {B1, B2,...,Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan runag sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2,...n. Dan misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠ 0. 

Contoh Soal

Suatu mata kuliah teori probabilitas diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke 1, 15 mahasiswa tahun ke 2 dan 10 mahasiswa tahun ke 3. Diketauhi mahasiswa yang mendapatkan nilai A adalah 10 orang dari mahsiswa tahun ke 1, 8 orang dari mahasiswa tahun ke 2 dan 5 orang mahasiswa tahun ke 3. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak ,berapakah peluang dia:

a. Mendapatkan nilai A

b. Mahasiswa tahun ke 1 bila diketauhi dia mendapatkan A

Diketahui 

1. Jumlah mahasiswa yang mengikuti mata kuliah teori proababilitas adalah 75 orang 

2. P(M1), atau peluang mahasiswa adalah mahasiswa tahun ke-1 yaitu 50/75 

3. P(M2), atau peluang mahasiswa adalah mahasiswa tahun ke-2 yaitu 15/75 

4. P(M3), atau peluang mahasiswa adalah mahasiswa tahun ke-3 yaitu 10/75 

5. P(A|M1) atau peluang mahasiswa tahun ke-1 yang mendapatkan nilai A sebesa 10/50 

6. P(A|M2) atau peluang mahasiswa tahun ke-2 yang mendapatkan nulai A yaitu 8/15 

7. P(A|M3) atau peluang mahasiswa tahun ke-3 yang mendapatkan nulai A yaitu 5/10 

a. P(A)= ∑ P(Mi)xP(A|Mi) 

            = (P(M1)xP(A|M1) + P(M2)xP(A|M2) + P(M3)xP(A|M3)) 

            =(50/75X10/50 + 15/75X8/15 + 10/75X5/10) 

            =23/75 

b. Mahasiswa tahun ke 1 bila diketauhi dia mendapatkan A 

    P(M1|A) = (P(M1) x P(A|M1))/P(A) 

                   =(50/75 x 10/50)/(23/75) 

                   =10/23