Peubah Acak (Random Variable)

PEUBAH ACAK

Sub Topik :

1.      Beberapa Model Sebaran Peubah Acak

1.1  Sebaran dan Fungsi Peluang Acak

1.2  Sebaran Binomial

1.3  Sebaran Poisson

Uraian Materi :

Beberapa Model Sebaran Peubah Acak

Berikut ini dijelaskan beberapa model sebaran dan fungsi peluang peubah acak yang sering digunakan dalam dalam analisis, yaitu sebaran atau fungsi peluang (1) Seragam (2) Binomial (3) Poisson. Masing-masing sebaran tersebut akan dibahas secara sekilas dalam sub bab berikut ini.

1.1  Sebaran dan Fungsi Peluang Acak

Sebaran seragam Ialah peubah acak yang masing-masing nilainya berpeluang sama untuk muncul

P( X=x ) = I (N) = 1/N

Contohnya : angka yang muncul dari pelemparan sebuah dadu seimbang. Dengan enam angka yang mungkin sesuai dengan sisi dadu yang diperoleh, maka sebaran seragam untuk angka tersebut

P(X=x) = I(6)= 1/6 , X={1,2,3,4,5,6}

Sebaran Seragam bisa kita fokuskan dengan beberapa poin, yaitu :

-          Merupakan sebaran peluang diskrit yang paling sederhana dimana suatu peubah acak memiliki nilai peluang yang semuanya sama

-          Sebaran Seragam : Jika suatu peubah acak X dengan nilai x1, x2, …, xk, memiliki peluang yang sama, maka sebaran diskrit seragamnya diberikan oleh f(x;k) = (1/k); x= x1, x2, …, xk\

-          Notasi f(x;k) dipakai sebagai pengganti f(x) untuk menegaskan ketergantungan f pada k;

1.2  Sebaran Binomial

Sebaran Binom  adalah tindakan yang hasilnya terdiri dari dua kategori. Kedua hasil tersebut biasanya dinyatakan sebagai “sukses” atau “gagal”, sukses dinyatakan dengan angka 1 dan gagal dinyatakan dengan angka 0. Apabila tindakan binom diulang sebanyak n kali sedangkan peluang sukses pada setiap ulangan tetap, dan antar ulangan bebas satu sama lain, maka “banyaknya sukses” diantara n ulangan tersebut merupakan peubah acak binomial, disingkat peubah binomial. Nilai yang mungkin dari peubah acak tersebut adalah X = (0,1,2,...,n)

Dalam arti lain sebaran binomial adalah eksperimen berulang yang menghasilkan dua macam keluaran dengan label berhasil atau gagal disebut sebagai eksperimen binomial.

Eksperimen binomial harus memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1.Eksperimen terdiri dari n buah percobaan berulang

2.Setiap percobaan memberikan hasil yang dapat disebut atau dilabeli sebagai berhasil atau gagal.

3.Peluang berhasil yang disebut p bersifat tetap sepanjang percobaan.

4.Percobaan yang satu bersifat bebas secara statistik dari percobaan yang lain.

Hitungan sebaran binomail dimana :  x= 0,1,2,3,...,n

Rataan X  : μ  = E(X) = np

Ragam X  : σ² = npq = np ( 1 – p )

Simpangan Baku :    

Contoh eksperimen binomial:

–Pengamatan keluaran H dari pelantunan koin

- Pengambilan acak kartu menghasilkan kartu warna hitam dari satu set kartu, setelah diambil kartu dikembalikan dan dikocok

Pada kasus terakhir, jika kartu tak dikembalikan, p akan berubah dari ½ menjadi 26/51 atau 25/51, dengan demikian syarat 3 tidak dipenuhi. Akibatnya, eksperimen ini tidak bisa disebut sebagai eksperimen binomial

1.3 Sebaran   Poisson

Apabila kejadian binom tadi diamati pada selang waktu atau luasan tertentu, maka banyaknya sukses pada selang waktu atau luasan tersebut menyebar menurut sebaran Poisson. Apabila rataan banyaknya sukses dalam selang pengamatan tersebut diketahui, katakanlah sebesar µ, maka sebaran poisson yang menyatakan peluang diperolehnya sukses sebanyak x pada selang tertentu adalah :

Keterangan    e= 2,7183

Sebaran Poisson bisa kita fokuskan menjadi,

-          Poisson adalah sebaran diskrit yang digunakan untuk menduga peluang bahwa peluang keluaran tertentu akan muncul tepat x kali dalam satuan yang dibakukan dengan laju rata-rata munculnya kejadian per satuan adalah konstan (μ).

-          Sebaran Poisson tidak berbeda banyak dari sebaran Binomial kecuali bahwa peluang Poisson adalah sangat kecil dan ukuran contoh belum tentu diketahui.

Asumsi Sebaran Poisson :

•         terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar

•         hanya satu keluaran yang dipelajari pada tiap tindakan

•         terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian tiap tindakan

•         peluang lebih dari satu keluaran pada tiap tindakan sangat kecilatau dapat diabaikan

Contoh Soal

Contoh Soal Sebaran Acak

Sebuah dadu dilantunkan sebanyak 5 kali. Berapa peluang bahwa dalam ke-5 lantunan tersebut terdapat tiga mata 6? Jika X menyatakan nama mata dadu yang muncul, tentukan ratan dan simpangan baku X.

Jawab :

Percobaan di atas merupakan percobaan binom, 5 ulangan bebas. Peluang munculnya salah satu permukaan dadu pada setiap ulangan adalah 1/6.

Jika X = banyaknya mata 6 yang muncul, maka P = 1/6 dan q = 1 – 1/6 = 5/6.

jadi peluang munculnya tiga mata 6 dalam 5 kali lantunan dadu adalah :

Peluang seorang pasien dapat sembuh dari suatu jenis penyakit langka adalah 0.4. Jika ada 15 orang yang terinfeksi, berapa peluang bahwa: (1) sedikitnya 10 orang sembuh, (2) 3~8 orang sembuh, dan(3) tepat5 orang sembuh.

Contoh Soal Sebaran Poisson

Dalam percobaan teramati rata-rata ada 4 buah partikel radioaktif yang melewati alat pencacah selama selang waktu 1 milidetik. Berapa peluang ada 6 partikel yang masuk alat tersebut dalam selama milidetik tertentu ?

Diketahui rata-rata kuliah yang batal pada suatu universitas tertentu adalah 4 kali per bulan.

Hitung peluang bahwa bulan depan kuliah akan batal sebanyak 6 kal?

Jawab :

Direktur bank XYZ mengetahui bahwa dari jam 10.00 – 11.00 pagi rata-rata terdapat 60 orang nasabah yang datang. Tentukan peluang bahwa dalam setiap satu menit dari jam 10.00 – 11.00 pagi pada hari berikutya :

            a) ada 2 orang nasabah yang akan datang

            b) paling banyak 2 nasabah yang datang

            c) terdapat antara 1 dan 4 orang nasabah yang akan datang

Jawab :

a)      
Terdapat 2 orang nasabah yang datang

b)      paling banyak 2 nasabah yang datang

c)      terdapat antara 1 dan 4 orang nasabah yang akan datang

 

Daftar Pustaka

Hadi, Statistik Psikologi dan Penididkan, Yayasan Penerbit Fakultas Psikologi, UGM, 1975.

 Saefuddin, Asep, K.A. Notodiputro, A. Alamudi, K. Sadik. Statistik Dasar. Bogor. Grasindo,            2009.

Siguarto. Metode Statistika. Jakarta: Gramedia Pusaka Utama. 2000

Sugiyono. Statistik untuk Penelitian. Bandung . Alfabeta, 2005.

Supranto . J.  Statistik Teori dan Aplikasi, Erlangga, 2008.